Взаимное расположение прямых. Параллельные прямые

Всего две прямые — а сколько нюансов...

Рис. 22. Три случая взаимного расположения прямых в пространстве: 1 — прямые пересекаются (a×b); 2 — прямые параллельны (c∥d); 3 — прямые e и f лежат в разных плоскостях (рассматривается в десятом классе).

Определение 25: Две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, называются параллельными. Аксиома 2 (аксиома о параллельных прямых): Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Теорема 41: Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.

Рис. 23 к теореме 41. Если b⟂a и c⟂a, то b∥c.

Теорема-следствие 2: Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Теорема 42: Если две прямые a и b параллельны третьей прямой, то прямые a и b параллельны между собой.

Признаки параллельности двух прямых

Определение 26: Прямая называется секущей по отношению к двум другим прямым, если она пересекает их в двух разных точках. Определение 27: Накрест лежащие углы — два угла, образованные при пересечении двух прямых секущей, лежащие между этими прямыми по разные стороны от секущей и не имеющие общей вершины. Определение 28: Односторонние углы — два угла, образованные при пересечении двух прямых секущей, лежащие между этими прямыми по одну сторону от секущей и не имеющие общей вершины. Определение 29: Соответственные углы — два угла, образованные при пересечении двух прямых секущей, лежащие по одну сторону от секущей и не имеющие общей вершины, причём только один из углов находится между прямыми.

Рис. 24. Прямая c — секущая для a и b. ∠1 и ∠2 — накрест лежащие, как и пара углов ∠3 и ∠4.

Рис. 25. Прямая c — секущая для a и b. ∠1 и ∠2 — односторонние, как и пара углов ∠3 и ∠4.

Рис. 26. Прямая c — секущая для a и b. ∠1 и ∠2 — соответственные, как и пары углов ∠3 и ∠4, ∠5 и ∠6, ∠7 и ∠8.

Теорема 43: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Теорема 44: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. Теорема 45: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

Теорема 46: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны. Теорема 47: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару соответственных углов, равны. Теорема 48: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма углов, образующих пару односторонних, равна 180°.