Теорема 49:
Сумма углов треугольника равна 180°.
Рис. 27 к теореме 49 и её обоснованию.
Обоснование теоремыДано: △ABC.Доказать: ∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180°.Доказательство:Сделаем дополнительное построение: проведем прямую n через вершину B так, чтобы n∥AC.1. ∠1 = ∠CAB (как накрест лежащие при n∥AC и секущей AB).2. ∠2 = ∠BCA (как накрест лежащие при n∥AC и секущей CB).3. Углы ∠1, ∠ABC и ∠2 в сумме дают развернутый угол, то есть 180°. Поскольку ∠1 = ∠CAB и ∠2 = ∠BCA, то ∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180°, что и требовалось доказать.Теорема-следствие 3:
В любом треугольнике хотя бы два угла острые.
Теорема-следствие 4:
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.
Теорема-следствие 5:
В равностороннем (правильном) треугольнике каждый угол равен 60°.
Теорема 50:
В любом треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол, и наоборот,
напротив большего угла лежит бóльшая сторона.
Теорема 51
(теорема о неравенстве треугольника):
каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Теорема 52:
Если два угла одного треугольника равны соответственно двум углам другого треугольника, то и третьи углы этих треугольников равны между собой.
Внешний угол
Определение 30:
Внешний угол треугольника — это угол, смежный с каким-либо углом данного треугольника.
Теорема 53:
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.
Рис. 28 к теореме 53. ∠BCD — внешний, а значит ∠BCD = ∠CAB + ∠ABC.
Обоснование теоремыДано: △ABC; ∠BCD — внешний.Доказать: ∠BCD = ∠CAB + ∠ABC.Доказательство:1. ∠BCD и ∠ACB — смежные. Значит, ∠BCD = 180° - ∠ACB.2. Сумма углов треугольника равна 180°, значит ∠CAB + ∠ABC = 180° - ∠ACB.3. ∠BCD = 180° - ∠ACB и ∠CAB + ∠ABC = 180° - ∠ACB. Следовательно, ∠BCD = ∠CAB + ∠ABC, что и требовалось доказать.
