Треугольники

Треугольники — способ решения большинства задач.


Создано объединением "Лес"

Общее понятие о треугольниках

Определение 17: Треугольник — это геометрическая фигура, состоящая из трёх не лежащих на одной прямой точек, соединённых отрезками.
Рис. 10. Классификация треугольников (по углам).
Определение 18: Треугольники называются равными, если их можно совместить наложением. Теорема 6: В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

Медианы

Рис. 11. [AZ], [BX], [CY] — медианы в △ABC. Значит, AY = YB; BZ = ZC; XC = AX.
Определение 19: Медиана — это отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны. Теорема 7: Все медианы треугольника пересекаются в одной точке. Теорема 8: Точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану на отрезки, относящиеся друг к другу как 2 : 1, считая от вершины треугольника. Примечание. На рисунке 11: AK : KZ = BK : KX = CK : KY = 2 : 1. Теорема 9: В равных треугольниках медианы, проведённые к соответствующим сторонам, равны.

Биссектрисы (треугольников)

Рис. 12. [AZ], [BX], [CY] — биссектрисы в △ABC. Значит, ∠CAZ = ∠BAZ; ∠ABX = ∠CBX; ∠BCY = ∠ACY.
Определение 20: Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной. Теорема 10: Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Теорема 11: Точка пересечения биссектрис делит каждую из них на отрезки, относящиеся друг к другу (считая от вершины) так же, как сумма прилежащих сторон относится к противолежащей стороне. Примечание. На рисунке 12: AK : KZ = (AB + AC) : BC; BK : KX = (AB + BC) : AC; CK : KY = (AC + BC) : AB. Теорема 12: В равных треугольниках биссектрисы соответствующих углов равны.

Высоты треугольников

Определение 21: Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.
Рис. 13. Высоты и их точки пересечения (помечены зелёным) в зависимости от типа треугольника (см. теоремы 13—15). △ABC — остроугольный, △DEF — прямоугольный, △GHI — тупоугольный.
Теорема 13: Точка пересечения высот в остроугольном треугольнике лежит внутри него. Теорема 14: Точка пересечения высот в прямоугольном треугольнике лежит на вершине его прямого угла. Теорема 15: Точка пересечения высот в тупоугольном треугольнике лежит за его пределами. Теорема 16: В равных треугольниках высоты, проведённые к соответствующим сторонам, равны.

Серединный перпендикуляр

Рис. 14. [XY] — серединный перпендикуляр стороны AC треугольника ABC, то есть XY ⊥ AC и AY = YC.
Определение 22: Серединный перпендикуляр — это прямая, проходящая под прямым углом через середину отрезка. Теорема 17 (признак серединного перпендикуляра): Если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка.