Углы

Простые геометрические фигуры, но что про них следует знать?

Понятие об углах и их классификация

Определение 8: Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из общей точки. Определение 9: Два угла называются равными, если их можно совместить наложением.

Рис. 5. Расположение точек относительно угла.

Рис. 6. Анатомия угла. На буквах угол с рисунка можно обозначить либо как ∠AOT, либо как ∠TOA.

Определение 10: Угол называется развёрнутым, если обе его стороны лежат на одной прямой. Теорема 3: Если угол — развёрнутый, то любая его часть — внутренняя.

Рис. 7. Классификация углов по градусной мере.

Определение 11: Угол называется острым, если его градусная мера больше 0°, но меньше 90°. Определение 12: Угол называется прямым, если его градусная мера равна 90°. Определение 13: Угол называется тупым, если его градусная мера больше 90°, но меньше 180°. Определение 14: Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его пополам.

Смежные и вертикальные углы

Определение 15: Два угла называются смежными, если у них одна сторона — общая, а две другие являются дополнительными лучами (см. определение 5 из предыдущей темы). Теорема 4: Сумма смежных углов равна 180°.

Рис. 8 к Определению 15 и Теореме 4. ∠ABD и ∠DBC — смежные.

Обоснование теоремы Дано: ∠ABD и ∠DBC — смежные. Доказать: ∠ABD + ∠DBC = 180°. Доказательство: 1. Так как углы ∠ABD и ∠DBC — смежные по условию, то [BA) и [BC) — дополнительные. Значит, ∠ABC — развёрнутый и поэтому равен 180°. 2. [BD) проходит внутри ∠ABC. То есть ∠ABD + ∠DBC = ∠ABC = 180°, что и требовалось доказать.

Теорема-следствие 1: Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны. Определение 16: Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Теорема 5: Вертикальные углы равны.

Рис. 9 к Определению 16 и Теореме 5. ∠1 и ∠2 — вертикальные и равны; ∠3 и ∠4 — вертикальные и равны.

Обоснование теоремы Дано: AD × BC = т. O; ∠1 и ∠2 — вертикальные. Доказать: ∠1 = ∠2. Доказательство: По условию ∠1 и ∠2 — вертикальные, их стороны продолжают друг друга. Значит, ∠1 и ∠3 — смежные. Аналогично, ∠3 и ∠4 — вертикальные, их стороны продолжают друг друга, а ∠3 и ∠2 — смежные. Сумма смежных углов равна 180°, то есть: ∠1 + ∠3 = 180° => ∠1 = 180° - ∠3 ∠2 + ∠3 = 180° => ∠2 = 180° - ∠3 Мы получили, что ∠1 = 180° - ∠3, и в то же время ∠2 = 180° - ∠3. ∠1 и ∠2 равны одной и той же разности, следовательно, они равны друг другу, что и требовалось доказать.